% Beispiel 5.11
% name lastname (11907086)
% 19. Juni 2021

In diesem Beispiel wird ein digitales Hann-Filter untersucht, das folgende Übertragungsfunktion aufweisen soll:

$$
H(z) = K \frac{1 - z^{-6}}{(1 - z^{-1})((1 - z^{-1} + z^{-2}))}
$$ {#eq:hann-transfer}

# (a)

Zeichnen Sie das Pol/Nullstellendiagramm für $H(z)$ und beachten Sie dabei eine eventuelle Aufhebung von Pol- und Nullstellen.

##### Lösung

Zunächst bringen wir Gl. [@eq:hann-transfer] in eine greifbarere Form

$$
\begin{aligned}
H(z) &= K \frac{1 - z^{-6}}{(1 - z^{-1})(1 - z^{-1} + z^{-2})} \\
&= K \frac{z^6 - 1}{z^3(z - 1)(z^2 - z + 1)}
\end{aligned}
$$ {#eq:hann-transfer-ez}

Nun können wir die Terme analysieren um die Pol- und Nullstellen zu ermitteln, wir beginnen zunächst mit den Polstellen

$$
z^3 = 0 \implies z_{\infty k} = 0,\ k \in [1, 3]
$$ {#eq:poles-1}

$$
z - 1 = 0 \implies z_{\infty 4} = 1
$$ {#eq:poles-2}

$$
z^2 - z + 1 = 0 \implies z_{\infty l} = \frac{1}{2} \pm j \frac{\sqrt{3}}{2},\ l \in [5, 6]
$$ {#eq:poles-3}

Somit erhalten wir die Polstellen $z_{\infty 1} = z_{\infty 2} = z_{\infty 3} = 0, z_{\infty 4} = 1, z_{\infty 5} = \frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}, z_{\infty 6} = \frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Als nächstes widmen wir uns den Nullstellen

$$
\begin{aligned}
z^6 - 1 &= 0 \\
(z^3)^2 - 1^2 &= 0 \\
(z^3 - 1)(z^3 + 1) &= 0 \\
(z^3 - 1^3)(z^3 + 1^3) &= 0 \\
(z - 1)(z^2 + z + 1)(z + 1)(z^2 - z + 1) &= 0 \\
\end{aligned}
$$ {#eq:zeroes-1}

Woraus folgt dass unsere Nullstellen jeweils $z_{01} = 1, z_{02} = \frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}, z_{03} = \frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}, z_{04} = -1, z_{05} = -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}, z_{06} = -\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Hier fällt bereits auf das einige der Pol- und Nullstellen übereinanderfallen. Wir skizzieren zunächst unsere Resultate

![Pol/Nullstellendiagramm unnvollständig](./res/poles-zeroes-1.png)

Entfernt man die sich überlappenden Pol- und Nullstellen, so kommen wir auf folgendes Bild

![Pol/Nullstellendiagramm](./res/poles-zeroes-2.png)

# (b)

Welchen Filtergrad hat das vorgegebene Filter? Was für ein Filtertyp (Bandpass, Hilberttransformator etc.) liegt vor?

##### Lösung

Bereits aus Fig. 2 lässt sich erkennen, dass es sich um einen Tiefpassfilter handelt. Der Filtergrad ist auch ablesbar, nämlich gibt es nur 3 Pole und Nullstellen, daher muss der höchste Grad des Zähler- und Nennerpolynoms 3 betragen. Aber das können wir auch algebraisch zeigen, indem wir die Umformung aus Gl. [@eq:zeroes-1] zu Nutze machen

$$
\begin{aligned}
H(z) &= K \frac{z^6 - 1}{z^3(z - 1)(z^2 - z + 1)} \\
&= K \frac{(z - 1)(z^2 + z + 1)(z + 1)(z^2 - z + 1)}{z^3(z - 1)(z^2 - z + 1)} \\
&= K \frac{(z^2 + z + 1)(z + 1)}{z^3} \\
\end{aligned}
$$ {#eq:hann-transfer-simpler}

Der Filtergrad ist daher 3.

# (c)

Wie ist der Faktor $K$ zu wählen, damit $H(e^{j 0}) = 1$ ist?

##### Lösung

Mit $H(z) = H(re^{j \theta})$ setzen wir nun ein

$$
\begin{aligned}
H(re^{j \theta}) \bigg|_{r=1, \theta=0} = 1 &= K \frac{(1+1)(1+1+1)}{1} \\
\implies 1 &= 6K \\
\implies K &= \frac{1}{6} \\
\end{aligned}
$$

# (d)

Erfinden Sie ein Schaltbild des digitalen Filters mit Addierern, Multiplizierern und Verzögerungselementen.

##### Lösung

Um die Aufgabe zu vereinfachen leiten wir zunächst die entsprechende Differenzengleichung her

$$
\begin{aligned}
H(z) &= K \frac{(z + 1)(z^2 + z + 1)}{z^3} \\
&= K \frac{z^3 + z^2 + z + z^2 + z + 1}{z^3} \\
&= K \left ( \frac{z^3}{z^3} + 2 \frac{z^2}{z^3} + 2 \frac{z}{z^3} + \frac{1}{z^3} \right ) \\
&= K \left ( 1 + 2z^{-1} + 2z^{-2} + z^{-3} \right ) \\
\end{aligned}
$$ {#eq:hann-transfer-transform}

Nun erinnern wir uns an die Definition der Übertragungsfunktion und bringen sie zurück in den Zeitbereich

$$
\begin{aligned}
H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} &= K \left ( 1 + 2z^{-1} + 2z^{-2} + z^{-3} \right ) \\
\implies Y(z) &= K \left ( X(z) + 2X(z)z^{-1} + 2X(z)z^{-2} + X(z)z^{-3} \right ) \\
\implies y[n] &= K \left ( x[n] + 2x[n-1] + 2x[n-2] + x[n-3] \right )
\end{aligned}
$$ {#eq:diff-eq}

An dieser Stelle wird noch einmal deutlich, dass es sich um einen Tiefpassfilter handelt. Nun können wir ohne viel Mühe ein Schaltbild zeichnen

![Hann Tiefpassfilter Schaltbild](./res/hann-circuit.png)

# (e)

Zeigen Sie, daß das Hann-Filter auch mit einem FIR-Filter realisiert werden kann und bestimmen Sie die Impulsantwort des Filters.

##### Lösung

Diese Aufgabenstellung wurde bereits in (d) behandelt und gelöst. (tut mir Leid, ich bin erst später darauf gekommen dass das erst später gefragt sein wird)

Setzt man noch das Ergebnis für $k$ sowie einen Impuls als Eingangssignal in Gl. [@eq:diff-eq] ein, so erhalten wir anschließend unsere Impulsantwort

$$
h[n] = \frac{1}{6} \delta[n] + \frac{1}{3} \delta[n-1] + \frac{1}{3} \delta[n-2] + \frac{1}{6} \delta[n-3]
$$
